Quando a matemática das bolhas de sabão ajuda a explicar os problemas da vida real

O que há em comum entre a bolha de sabão que uma criança assopra no ar, as ligas metálicas que sustentam uma construção e os arredores dos buracos negros que nos rondam? Há um elo invisível que os conecta: a matemática, uma ciência capaz de aproximar os mais diferentes fenômenos na busca por compreendê-los.

Os primeiros matemáticos que se dedicaram ao estudo das bolhas de sabão não imaginavam que seus conhecimentos um dia poderiam ser utilizados para investigar fenômenos celestes tão inusitados quanto os buracos negros, mas essa é outra característica dessa ciência: a imprevisibilidade de suas futuras aplicações. Com a suspeita de que a matemática das bolhas de sabão se assemelha à que permeia os arredores dos buracos negros, há ainda mais motivos para pesquisar as bolhas de sabão, muito mais acessíveis e seguras.

Essas superfícies que encantam as crianças podem ser estudadas em praticamente todo lugar: basta misturar água e sabão em uma concentração tal que, ao pegar um arame com o formato clássico do círculo, e mergulhá-lo na solução, uma película fina, flexível e resistente surgirá.

Ao assoprar essa película, que está grudada nas bordas do arame, você poderá formar uma bolha de sabão e, se tiver alguma habilidade, ela se desprenderá e voará pelo espaço até estourar. Continue a experiência matemática usando sua criatividade para moldar o arame em diversos formatos. Note que uma película surge unida às bordas toda vez que o objeto metálico é mergulhado na solução e, à medida que você muda o formato do arame, altera-se também o formato da película.

No entanto, calcular matematicamente o tamanho dessas diferentes estruturas que nascem a partir da experiência com água e sabão não é algo trivial. “A tentativa de entender essas superfícies mínimas foi o que motivou a construção de áreas novas de pesquisa”, explica Pedro Henrique Gaspar Marques da Silva, 27 anos, formado em matemática pelo Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC) da USP, em São Carlos. “Os matemáticos têm sido desafiados a pensar sobre essas superfícies mínimas há mais de um século”, completa o rapaz, que está fazendo pós-doutorado na Universidade de Chicago, nos Estados Unidos.

Ele voltou ao ICMC no dia 27 de agosto para receber o Prêmio Carlos Gutierrez de Teses de Doutorado, que reconhece, a cada ano, a melhor tese em matemática defendida no Brasil no ano anterior: “Meu trabalho está no meio do caminho entre a geometria e as equações diferenciais. Aliás, os matemáticos construíram a ponte entre essas duas áreas exatamente para tentar entender as superfícies mínimas”.

Depois de receber a premiação, Pedro ministrou uma palestra no auditório Fernão Stella Rodrigues Germano, em que abordou os principais resultados de sua tese. Na plateia, professores e participantes do Workshop de Teses e Dissertações do ICMC acompanhavam atentos às explicações técnicas. A seguir, subimos até o terceiro andar da Biblioteca Achille Bassi para admirar, de perto, o Ipê Amarelo florido. Ao nos sentarmos em uma das mesas, Pedro volta a explicar, pacientemente, alguns conceitos matemáticos com os quais trabalha. Diante de uma jornalista, depara-se com a impossibilidade de usar os mesmos termos e equações que apresentou na palestra. Mas isso não o incomoda: perspicaz, Pedro encontra metáforas e exemplos para compartilhar o que sabe.

Aliás, ele tem essa facilidade para ensinar desde criança, revela o avô materno, Paulo Afonso Marques. Presente na cerimônia de premiação, Paulo conta que, quando o neto estava no ensino fundamental e o semestre próximo do fim, o garoto continuava indo à escola. Então, o avô perguntava: “Pedro, você já eliminou todas as matérias, pra que está indo à escola?” O garoto respondia: “Meus colegas não terminaram ainda, tenho que ajudá-los”.

A mãe, Ana Paula Gaspar Marques da Silva, completa: “Ele sempre gostou muito de ensinar. Quando estava no ensino médio, minha casa vivia cheia de amigos e colegas”. Para ela, a qualidade mais marcante do garoto, desde sempre, é a humildade.

Forças em equilíbrio

Mas o que torna as películas de sabão atraentes aos olhos dos matemáticos e aos olhos de Pedro, em especial? “Essas superfícies são resultado de um estado de equilíbrio de forças físicas: há pressão de um lado e de outro da película. E a forma final adquirida pela superfície é resultado do equilíbrio dessas forças”. Nesse estado de equilíbrio, a película adquire também uma interessante propriedade geométrica: possui a menor área entre todas as superfícies que são limitadas por uma curva fechada. É daí que vem o nome desses objetos matemáticos: superfícies mínimas.

Há muitas situações do cotidiano em que as superfícies mínimas aparecem e os conhecimentos matemáticos da área podem ser aplicados. Pedro cita como exemplo o desafio de unir várias antenas, receptores ou radares, de maneira a otimizar a captação de sinais. Outro exemplo vem da arquitetura: “Imagine que você tem um palito na mão e vai girá-lo, sem completar a volta, e deslocá-lo para cima. A superfície que será criada pela trajetória descrita por esse palito é uma superfície mínima. Então, se eu fizer uma casa cujo telhado tem esse formato, terei que calcular matematicamente onde colocar as vigas para manter a estrutura em equilíbrio”.

O nome dessa simpática superfície descrita por Pedro é helicoide e, para recriá-la, basta modelar um arame em formato de espiral e mergulhá-lo no mesmo recipiente com água e sabão usado para produzir as bolhas. Se você quiser pesquisar ainda mais as interessantes propriedades matemáticas desse estranho objeto, pode construí-lo usando palitos de picolé. Os palitos farão você visualizar com clareza que, em cada ponto do helicoide, passa uma reta, a qual está inteiramente contida nessa superfície mínima.

O helicoide de palitos de picolé foi um dos muitos experimentos que encantou um grupo de estudantes do segundo ano do ensino médio da Escola Antonio Raimundo de Melo, na cidade de Carnaubal, no Ceará. A pesquisadora Lucimara Andrade realizou uma série de atividades com esses alunos para discutir as propriedades básicas das superfícies mínimas. O projeto é fruto do mestrado profissional em matemática (PROFMAT) que Lucimara desenvolveu na Universidade Federal do Ceará, sob orientação do professor Marcelo Melo. O trabalho resultou também na publicação do artigo Superfícies mínimas e bolhas de sabão no Ensino Médio, na revista Thema.

“O estudo contribuiu muito para a formação educacional dos estudantes, possibilitando a eles um contato teórico e prático com tópicos matemáticos voltados quase exclusivamente para alunos de pós-graduação em matemática”, ressaltam Marcos e Lucimara no artigo. “Esta experiência comprova que com iniciativa e criatividade, a matemática (mesmo aquela matemática que aparentemente faz parte apenas da rotina de pesquisadores de alto nível) pode deixar de ser temida e rejeitada por muitos estudantes, e passar a ser vista como uma ferramenta indispensável e presente no dia a dia dos alunos do ensino médio”, concluem os autores.

Dimensões além

Se estudar as superfícies mínimas no planeta Terra já é desafiador, imagine só fazer isso em outro planeta. A questão parece totalmente fora de propósito, mas é usando essa brincadeira que Pedro nos lança para outras dimensões: “Uma criança entediada, que está em outro planeta, no qual há várias dimensões, resolve fazer uma bolha de sabão. Em vez de sair uma esfera voando, a bolha tem um formato estranho, que se parece com o que a gente chama de hipersuperfícies”.

Para entender uma hipersuperfície, precisamos mesmo usar nossa imaginação. Isso acontece porque, aqui na Terra, bastam três números para definirmos matematicamente os objetos tridimensionais que vemos. Pense em uma caixa, para saber o espaço que ela ocupa, é só identificar a largura, a profundidade e a altura, ou seja, suas três dimensões. Então, por que os matemáticos insistem em pensar em mais dimensões se no nosso mundo tem só três?

Pedro explica: “Cada dimensão pode ser considerada como uma quantidade que a gente quer medir. Imagine que vamos estudar o problema de uma empresa: ela quer minimizar o quanto gasta para produzir um produto e tem um monte de fatores para levar em consideração – custo de materiais, das pessoas, do transporte do material, do transporte do produto final até o local de venda, etc. Bem, cada um desses fatores pode ser considerado como se fosse uma dimensão. Para tentar achar um valor ótimo, temos que estudar mais dimensões além de três”.

Se você achava que bastavam três dimensões para resolver os problemas do nosso mundo, acaba de descobrir que já vivemos em um planeta que demanda pesquisar muitas outras dimensões, mesmo que elas sejam invisíveis. O que Pedro estudou em sua tese é como o calcular o espaço ocupado pelas superfícies mínimas quando temos mais do que três dimensões: “Para criar uma liga de metal, por exemplo, várias substâncias são unidas e, olhando para o interior desse material, podemos localizar espaços em que as substâncias estão em equilíbrio. A superfície que aparece entre esses diferentes materiais se parece com aquelas que ocorrem nas bolhas de sabão.”

De volta ao começo

Ao receber o Prêmio Gutierrez pela tese de doutorado A equação de Allen-Cahn e aspectos variacionais de hipersuperfícies mínimas, defendida no IMPA e orientada pelo professor Fernando Codá, Pedro se lembrou de seus primeiros passos em matemática: “Voltar para o ICMC é quase como voltar para casa. Foi realmente onde eu comecei a gostar de fazer matemática. Um dos fatores fundamentais que construíram a ponte para o que aconteceu depois – o meu doutorado – foi a iniciação científica”.

Sob orientação do professor Fernando Manfio, do ICMC, Pedro desenvolveu projetos de iniciação científica durante três anos, todos com bolsas de estudo: um ano com recursos provenientes do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e dois com financiamento da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP). “A iniciação científica me abriu várias portas, possibilitando ir a eventos, simpósios, conferências, workshops”.

Quando visitou o ICMC pela primeira vez, um pouco antes de ficar sabendo que havia sido aprovado no vestibular da Fuvest, Pedro se encantou pelo ambiente acolhedor. “Algo que se confirmou ao longo da graduação: é um ambiente quase familiar, os professores são muito acessíveis e os colegas de turma dispostos a ajudar”. Foram as forças desse espaço, em equilíbrio, que possibilitaram a Pedro explorar muitas superfícies matemáticas.